Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2} $$
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a :
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a :
$$ S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1} $$
Correction Exercice 3
Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1 = \dfrac{1}{1\times (1+1)} = \dfrac{1}{2}$.
Or $1-\dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$.
La propriété est donc vraie au rang $1$.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ :
$S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$
Au rang $n+1$ on a donc :
$\begin{align} S_{n+1}&= \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\
& = 1-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}\\\\